ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5

Построение математической модели эргатической системы на основе эксперимента


 

 Цель: освоить построение математической модели эргатической системы на основе эксперимента.

План занятия:
1. Изучить теорию вопроса.
2. Выполнить практическое задание.
3. Ответить на контрольные вопросы.

Теоретические сведения
Математическая модель – описание системы, выраженное с помощью математической символики (математических зависимостей, соотношений, уравнений, неравенств и т.п.), содержащая информацию о свойствах и характеристиках моделируемой системы, существенных для решения поставленной цели. Сущность методологии математического моделирования состоит в замене исходного объекта его «образом» – математической моделью – и дальнейшем исследовании разработанной модели с помощью вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод исследования, разработки и создания систем сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самой системой, а с ее моделью дает возможность быстро и без существенных затрат исследовать ее свойства и поведение в любых ситуациях. Вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями разнообразных систем позволяют, с помощью современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать системы в различных областях исследований.

Преимущества математического моделирования систем заключаются в следующем:
Компактность. Словесное (или вербальное) описание системы, как правило, включает множество нечетких высказываний, что усложняет постановку и решение задач. Устранить этот недостаток вербального описания помогает компактная математическая символика. Математическое описание дает нам аналог исследуемой системы и оказывается информативнее любого словесного описания.
Ясность. Использование математического описания позволяет каждому аспекту изучаемого процесса поставить в соответствие определенный математический символ, в результате чего становится нагляднее взаимосвязь, существующая между различными параметрами процесса. Более того, подобное сопоставление позволяет гораздо проще, чем словесное описание, установить, не были ли упущены какие-либо существенные переменные, или, напротив, не были ли внесены какие-либо дополнительные несущественные сложности при построении описания.
Возможность численного анализа. Математическим описанием можно манипулировать в соответствии с обычными законами логики с целью получить нетривиальное представление о самой системе. Кроме того, математическая модель дает основу для численного анализа, с помощью которого могут быть получены данные не только описательного, но и прогностического характера.
Экономичность. Замена натурного эксперимента математическим описанием позволяет сберегать материальные и временные ресурсы.
Доступность. Возможность моделирования гипотетических, т.е. не реализованных в природе объектов (прежде всего на разных этапах проектирования), а так же возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроизводимых в натуральном виде, возможность изменения масштаба времени.
Простота анализа. Возможность анализа результатов исследования с помощью информационных технологий (ЭВМ, системы программирования и пакеты прикладных программ широкого назначения).
Предсказательность. Большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей.
В общем случае математическая модель реальной системы представляется в виде системы функционалов:

   (5.1)

где X(Х₁,  …,  Х_k) – группа  управляемых (входных переменных) факторов, которыми  исследователь  может управлять в процессе подготовки и проведения эксперимента;
W(W₁, …,  W_q) – неконтролируемые факторы (внешних воздействий), которые объективно существуют и влияют на процесс, но не известны исследователю;
Ŷ(Ŷ₁, …,  Ŷ_p) – множество выходных функций (выходных переменных), представляет собой совокупность критериальных функций;
T – координата времени.

Схема обобщенной математической модели представлена на рисунке 5.1.
 

Рисунок 5.1 – Схема обобщенной математической модели

Моделирование на основе эксперимента происходит при попытке выявления зависимостей результатов экспериментальных исследований от наиболее существенных факторов исследуемой проблемы. Это позволяет обобщить результат исследований в виде некоторых математических зависимостей.
Математическое описание составляется следующим образом:
1) проводятся экспериментальные исследования эргатической системы результаты, которых представляются в виде протокола, составленного в хронологическом порядке и показывающего последовательность состояния «входа» и «выхода»;
2) осуществляется статистическая обработка и поиск формы аппроксимации полученных данных;
3) строится математическое описание.
Достоинства: простота описания, доступность получения моделей, возможность построения математической модели при отсутствии теоретических данных о исследуемых процессах системы.
Недостатки: невозможность применения модели для режимов, в которых не проводились измерения, сложность или невозможность экстраполяции результатов.

Пример выполнения практического задания
Галилеем был установлен факт независимости динамики свободного падения тел в вакууме вблизи поверхности земли от их массы, плотности и размеров. Необходимо, установленный факт Галилеем, проверить опытным путем.
Проверку вышеуказанного факта проверим путем измерения зависимости скорости свободного падения от времени для контрольной группы тел. Результаты измерений представим в виде графика (t, V). Через совокупность полученных экспериментальных точек проведем линии с учетом погрешностей измерений для каждого тела. В результате получили прямую (см. рис. 5.2), что позволяет выполнить аппроксимацию по формуле (уравнение прямой):


С помощью статистической обработки с некоторой погрешностью найдем тангенс угла наклона данной прямой, то есть величину   , являющуюся по смыслу ускорением свободного падения. Сопоставление величины ускорения для разных тел позволило повторить вывод Галилея. Таким образом, мы получили математическую модель, которая подтверждает установленный факт Галилеем и совпадает с формулой (5.1).

Рисунок 5.2 – Зависимость скорости V от времени падения t

Заметим принципиальный момент: нам так и осталась непонятной природа этого явления, но, имея формулу (5.1), мы обладаем инструментом прогнозирования.

Порядок выполнения практического задания
1. Изучить теоретическую часть практического задания.
2. В соответствии с поставленной задачей составить протокол экспериментальных исследований.
3. Выполнить статистическую обработку полученных экспериментальных данных и поиск формы их аппроксимации.
4. Построить математическую модель.
5. Ответить на контрольные вопросы.

Варианты для выполнения задания
1) При температурах менее 800 К и малых линейных скоростях потока газа перенос тепла определяется теплопроводность и описывается уравнением Фурье